Как составить алгоритм решения задачи по геометрии

Как составить алгоритм решения задачи по геометрии

Какой бы путь решения ни был выбран, успешность его использования зависит, естественно, от знания теорем и умения их применять.

Метод дополнительного построения

Всякое геометрическое решение геометрической задачи начинается с работы над чертежом. При этом иногда на «естественном» чертеже (т.е. на чертеже, на котором изображено только условие) трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, а если фигуру достроить, эти связи становятся очевидными.

%D0%91%D0%B5%D0%B7%D1%8B%D0%BC%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9

Две фигуры F и F 1 называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т.е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз.

Признаки подобия треугольников:

1) Если два угла одного соответственно равны двум углам другого;

2) Если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами равны;

3) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.

%D0%B2%D0%B2

%D0%B2%D0%B2%D0%B2

Метод замены широко применяется в алгебре, но не менее эффективно «замена» может быть применена в геометрии. Сущность этого приема решения геометрических задач состоит в следующем: фигура, о которой идет речь в условии задачи, так заменяется фигурой с той же искомой величиной, чтобы найти эту величину было легче.

%D0%91%D0%B5%D0%B7%D1%8B%D0%BC%D1%8F%D0%BD%D0%BD1%D1%8B%D0%B9

%D0%91%D0%B7%D1%8B%D0%BC%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9

%D0%91%D0%B5%D0%B7%D1%8B%D0%BC%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B92

%D0%91%D0%B5%D0%B7%D1%8B%D0%BC%D1%8F%D0%BD%D1%8B%D0%B9

Метод введения вспомогательного неизвестного

Суть метода заключается в том, что исходя из условия задачи составляют уравнение (или систему уравнений). В качестве вспомогательных аргументов удобно выбирать величины, которые вместе с данными из условия задачи дают набор элементов, однозначно задающих некоторую фигуру.

1

2

В математических задачах часто бывает полезен такой прием: двумя способами найти одну и ту же величину и приравнять полученные для нее выражения. Пусть мы, например, двумя способами нашли площадь некоторой фигуры. Если в одном из выражений для площади входит, скажем синус какого-либо угла α, то при помощи соотношения из полученного равенства можно получить некоторое неравенство, порой интересное.

3

4

Метод «вспомогательных объёмов»

Для нахождения расстояния от точки до плоскости или при нахождении углов между прямой и плоскостью метод «вспомогательного объёма» во многих случаях оказывается наиболее эффективным. Суть метода заключается в том, что объём некоторой фигуры выражается двумя способами, а затем из полученных равенств выражается искомая величина. Причём в этом методе нет необходимости строить проекцию прямой на плоскость или проекцию точки, что во многих случаях оказывается очень затруднительным.

5

6

Применение критериев коллинеарности и компланарности векторов в решении задач.

Критерии коллинеарности и компланарности векторов служат основной для применения векторной алгебры в решении стереометрических задач. Они позволяют выразить в виде векторных равенств различные утверждения о расположенных точках, прямых и плоскостей в пространстве. Переход от векторных равенств к скалярным происходит на основе единственности разложения вектора по двум неколлинеарным и трём некомпланарным векторам.

%D0%B2%D0%B5%D0%BA

7

8

9

Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. И, решая ту или иную геометрическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще, удобнее. Некоторые виды координатных систем, отличные от прямоугольных.

1.Косоугольные (аффинные) координаты.

Рассмотрим самые употребительные и простые координаты в пространстве, называемые прямоугольными. Их называют ещё декартовыми по имени Рене Декарта (1596-1650) – французского учёного и философа, впервые ввёдшего координаты в геометрию (на плоскость).

Источник

Как решать задачи по геометрии. Часть 1

Геометрическая логика при решении задач

Геометрия… Страшное слово для бесчисленного множества учеников. Они знают свойства фигур и выучили определения и теоремы, но задачи по геометрии все равно остаются какой-то китайской грамотой.

Это про тебя? Тогда ты попал туда, куда нужно!

Проблема подавляющего большинства учеников в том, что они не умеют обдумывать задачу по геометрии. Их этому не научили (ну, или они не захотели научиться, когда была возможность). Именно в этой статье, я объясню саму технологию обдумывания и, в конечном счете, нахождения решения ПРАКТИЧЕСКИ ЛЮБОЙ задачи по геометрии.

Ты играл когда-нибудь в квесты? Неважно в реальной жизни или в компьютере. Во всех квестах принцип один – у тебя есть что-то (вещи, знания, навыки) и есть цель (раскрыть какую-нибудь тайну, найти некий предмет, «спасти принцессу» и т.д.). При этом путь к цели – неизвестен. И зачем нужны эти самые имеющиеся у тебя «вещи, знания, навыки» – тоже непонятно. Что делать? Как достичь цели?

Известно как: использовать то, что есть, и искать, куда это применить, чтоб продвинуться к цели. То есть, делать шаги от своего текущего местонахождения – к цели. При этом понятно, что некоторые шаги будут вести нас не туда, куда надо, а совсем даже в тупик. А иногда мы будем находить вещи или информацию, вроде бы напрямую к цели не ведущие, но как выяснится в дальнейшем – необходимую.

Более того, порой можно логически двигаться и наоборот – от цели к твоей текущей позиции. Например, если нужно «спасти принцессу из замка», то понятно, что, скорее всего, надо будет как-то попасть в замок. А для этого надо оказаться на острове, где этот замок стоит. Как попасть? Может быть на лодке. Или найти телепорт. Или использовать магию. Но на остров – надо. Начинаем искать пути на остров. Это уже логические шаги от цели к текущей позиции.

Ладно, давай уже конкретный пример разберем.

Задача. В треугольнике \(ABC\) из точки \(B\) проведена высота \(BH\). Найти длину отрезка \(AH\), если известно, что сторона \(AC\; =\; 14\) см и угол \(A\) равен углу \(C\).

Так. С чего начинается решение геометрической задачи? Ну, а с чего начинается решение квеста? Правильно, осматриваемся по сторонам, изучаем, что у нас есть и куда нас жизнь закинула.

В геометрии это означает:

735a33954f49aa12a1cb034b78111308

Хорошо. Значит, текущая ситуация у нас такова:

1917553b666793e99e641ccc95933dff

Давайте потихоньку развеивать туман. Нам известно, что углы \(А\) и \(С\) равны, а это значит, что треугольник \(АВС\) – равнобедренный с основанием АС (теория – «признак равнобедренного треугольника: равенство углов при одной из сторон. Она и является основанием»). Это новая информация, новые данные, изначально неизвестные. Делаем шаг.

Читайте также:  Как составить таблицу в ворде горизонтально

4fdd36c96eace69a7f9060fd537d2681

Отлично. Теперь смотрим, что у нас есть еще? Еще у нас есть информация, что \(BH\) – высота. А раз треугольник \(ABC\) – равнобедренный, то значит \(BH\) еще и медиана (теорема о высоте в равнобедренном треугольнике: высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника является медианой и биссектрисой). То есть, мы, используя новые, полученные на предыдущем шаге данные, а также исходные данные и знание теории, делаем еще один шаг и опять получаем новую информацию.

491f9d07130179fda53ac9a98b4b2029

А что мы знаем про медиану? Она делит противоположную сторону на две равные части (определение медианы: отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны). Но тогда получается, что точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам. То есть \(AH = HC\).

Стоп. Так у нас же есть длина стороны \(AC\)! И если мы знаем, что точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам, значит, \(AH\) равен половине \(AC\)! Таким образом, получаем, что \(AH = AC/2 = 14/2=7\) см.

b93f091499232b205063586e1d059a6c

Готово. Ответ получен.

Естественно, такие конструкции с «пятном тумана» рисовать каждый раз не нужно, эта схема показывает логическую цепочку решения у нас в голове. А записывается примерно так:

Источник

Как научиться решать задачи по аналитической геометрии?
Типовая задача с треугольником на плоскости

Этот урок создан на подходе к экватору между геометрией плоскости и геометрией пространства. В данный момент назрела необходимость систематизировать наработанную информацию и ответить на очень важный вопрос: как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Трудность состоит в том, что задач по геометрии можно придумать бесконечно много, и никакой учебник не вместит в себя всё множество и разнообразие примеров. Это не производная функции с пятью правилами дифференцирования, таблицей и несколькими техническими приёмами….

Решение есть! Не буду говорить громких слов о том, что я разработал какую-то грандиозную методику, однако, по моему мнению, существует эффективный подход к рассматриваемой проблеме, позволяющий достигнуть хорошей и отличной результативности даже полному чайнику. По крайне мере, общий алгоритм решения геометрических задач очень чётко оформился в моей голове.

ЧТО НЕОБХОДИМО знать и уметь
для успешного решения задач по геометрии?

От этого никуда не деться – чтобы наугад не тыкать носом кнопки, требуется освоить азы аналитической геометрии. Поэтому если вы только-только приступили к изучению геометрии или капитально позабыли её, пожалуйста, начните с урока Векторы для чайников. Кроме векторов и действий с ними, нужно знать базовые понятия геометрии плоскости, в частности, уравнение прямой на плоскости и простейшие задачи с прямой на плоскости. Геометрия пространства представлена статьями Уравнение плоскости, Уравнения прямой в пространстве, Основные задачи на прямую и плоскость и некоторыми другими уроками. Кривые линии и пространственные поверхности второго порядка стоЯт некоторым особняком, и специфических задач с ними не так уж много.

Предположим, студент уже обладает элементарными знаниями и навыками решения простейших задач аналитической геометрии. Но вот бывает же так: читаешь условие задачи, и… хочется вообще закрыть всё это дело, закинуть в дальний угол и забыть, как о страшном сне. Причём это принципиально не зависит от уровня вашей квалификации, сам время от времени сталкиваюсь с заданиями, у которых решение не очевидно. Как поступать в таких случаях? Не нужно бояться задачи, которая вам не понятна!

Во-первых, следует установить – это «плоская» или пространственная задача? Например, если в условии фигурируют векторы с двумя координатами, то, понятно, тут геометрия плоскости. А если преподаватель загрузил благодарного слушателя пирамидой, то здесь явно геометрия пространства. Результаты первого шага уже неплохи, ведь удалось отсечь громадное количество ненужной для данной задачи информации!

Второе. Условие, как правило, озаботит вас некоторой геометрической фигурой. Действительно, пройдитесь по коридорам родного ВУЗа, и вы увидите очень много озабоченных лиц.

В «плоских» задачах, не говоря о разумеющихся точках и прямых, наиболее популярная фигура – треугольник. Его мы разберём очень подробно. Далее идёт параллелограмм, и значительно реже встречаются прямоугольник, квадрат, ромб, окружность, др. фигуры.

В пространственных задачах могут летать те же плоские фигуры + сами плоскости и распространённые треугольные пирамиды с параллелепипедами.

Вопрос второй – всё ли вы знаете о данной фигуре? Предположим, в условии идёт речь о равнобедренном треугольнике, а вы весьма смутно помните, что это такой за треугольник. Открываем школьный учебник и читаем про равнобедренный треугольник. Что делать… врач сказал ромб, значит, ромб. Аналитическая геометрия аналитической геометрией, но задачу помогут решить геометрические свойства самих фигур, известные нам из школьной программы. Если не знать, чему равна сумма углов треугольника, то мучиться можно долго.

Третье. ВСЕГДА старайтесь выполнять чертёж (на черновике/чистовике/мысленно), даже если этого не требуется по условию. В «плоских» задачах сам Евклид велел взять в руки линейку с карандашом – и не только для того, чтобы понять условие, но и в целях самопроверки. При этом наиболее удобный масштаб 1 единица = 1 см (2 тетрадные клетки). Уж не будем рассуждать о нерадивых студентах и вращающихся в гробах математиках – в таких задачах совершить ошибку практически невозможно. Для пространственных заданий выполняем схематический рисунок, который тоже поможет проанализировать условие.

Чертёж или схематический чертёж зачастую сразу позволяет увидеть путь решения задачи. Конечно, для этого нужно знать фундамент геометрии и рубить в свойствах геометрических фигур (см. предыдущий пункт).

Четвёртое. Разработка алгоритма решения. Многие задачи геометрии являются многоходовыми, поэтому решение и его оформление очень удобно разбивать на пункты. Нередко алгоритм сразу же приходит в голову, после того как вы прочитали условие или выполнили чертёж. В случае возникновения трудностей начинаем с ВОПРОСА задачи. Например, по условию «требуется построить прямую…». Здесь самый логичный вопрос такой: «А что достаточно знать, чтобы построить данную прямую?». Предположим, «точка нам известна, нужно знать направляющий вектор». Задаём следующий вопрос: «Как найти этот направляющий вектор? Откуда?» и т.д.

Иногда случается «затык» – не решается задача и всё тут. Причины стопора могут быть следующими:

– Серьёзный пробел в элементарных знаниях. Иными словами, вы не знаете или (и) не видите какой-то очень простой вещи.

– Незнание свойств геометрических фигур.

– Задача попалась трудная. Да, так бывает. Нет смысла часами париться и собирать слёзки в платочек. Обратитесь за консультацией к преподавателю, сокурсникам или задайте вопрос на форуме. Причём, его постановку лучше сделать конкретной – о том участке решения, который вам не понятен. Клич в виде «Как решить задачу?» выглядит не очень-то… и, прежде всего, для вашей собственной репутации.

Читайте также:  Как правильно составить протокол об административном нарушении

Этап пятый. Решаем-проверяем, решаем-проверяем, решаем-проверяем-даём ответ. Каждый пункт задачи выгодно проверять сразу после его выполнения. Это поможет немедленно обнаружить ошибку. Естественно, никто не запрещает быстренько прорешать задачу целиком, но возникает риск переписывать всё заново (часто несколько страниц).

Вот, пожалуй, все основные соображения, которыми целесообразно руководствоваться при решении задач.

Практическая часть урока представлена геометрией на плоскости. Примеров будет всего два, но мало не покажется =)

Пройдёмся по нити алгоритма, который я только что рассмотрел в своём маленьком научном труде:

Даны три вершины kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image002параллелограмма kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image777. Найти вершину kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image004.

Шаг первый: очевидно, что речь идёт о «плоской» задаче.

Шаг второй: в задаче речь идёт о параллелограмме. Все помнят такую фигуру параллелограмм? Не нужно улыбаться, немало людей получает образование в 30-40-50 и более лет, поэтому даже простые факты могут стереться из памяти. Определение параллелограмма встречается в Примере № 3 урока Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Шаг третий: Выполним чертёж, на котором отметим три известные вершины. Забавно, что несложно сразу построить искомую точку kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image004 0000:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image006

Построить, это, конечно, хорошо, но решение необходимо оформить аналитически.

Шаг четвёртый: Разработка алгоритма решения. Первое, что приходит в голову – точку kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image004 0001можно найти как пересечение прямых kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image008. Их уравнения нам неизвестны, поэтому придётся заняться этим вопросом:

1) Противоположные стороны kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image010параллельны. По точкам kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image012найдём направляющий вектор данных сторон kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image014. Это простейшая задача, которая рассматривалась на уроке Векторы для чайников.

Примечание: корректнее говорить «уравнение прямой, содержащей сторону», но здесь и далее для краткости я буду использовать словосочетания «уравнение стороны», «направляющий вектор стороны» и т.д.

2) Составим уравнение прямой kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image016по известной точке kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image018и найденному направляющему вектору kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image020(см. статью Уравнение прямой на плоскости)

3) Противоположные стороны kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image022параллельны. По точкам kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image024найдём направляющий вектор этих сторон kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image026.

4) Составим уравнение прямой kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image028по точке kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image030и направляющему вектору kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image032

В пунктах 1-2 и 3-4 мы фактически дважды решили одну и ту же задачу, она, кстати, разобрана в примере № 3 урока Простейшие задачи с прямой на плоскости. Можно было пойти более длинным путём – сначала найти уравнения прямых kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image034и только потом «вытащить» из них направляющие векторы kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image036.

5) Теперь уравнения прямых kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image008 0000известны. Осталось составить и решить соответствующую систему линейных уравнений (см. примеры № 4, 5 того же урока Простейшие задачи с прямой на плоскости).

Точка kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image004 0002найдена.

Задача довольно таки простая и её решение очевидно, но существует более короткий путь!

Второй способ решения:

Диагонали параллелограмма своей точкой пересечения делятся пополам. Точку kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image038я отметил, но чтобы не загромождать чертёж сами диагонали не провёл.

1) С помощью формул координат середины отрезка найдём точку kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image038 0000– середину диагонали kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image041.

2) Рассмотрим диагональ kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image043. Из условия известна вершина «бэ», из предыдущего пункта найдена середина kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image038 0001. Используя те же формулы координат середины отрезка, находим вершину kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image004 0003.

Хорошее знание свойств параллелограмма позволило значительно сократить решение!

Желающие могут прорешать задачу. Всё перед глазами, все ссылки, комментарии даны. И, конечно, не забывайте про важный технический приём – решили пункт задания и сразу же его проверили (аналитически или по чертежу).

Переходим к наиболее распространённой задаче, которая встречается практически в каждом сборнике, в каждой методичке:

Типовая задача с треугольником на плоскости

Многие помнят из школы признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников и мучительное заучивание доказательств теорем. Как в сердцАх сказал один мой одноклассник, «не понимаю, на… доказывать равенство треугольников, если и так видно, что они одинаковые». Мы тоже не будем ничего доказывать, поскольку аналитическая геометрия подкрадывается к треугольнику совсем с другой стороны.

Типовая задача с треугольником на плоскости, как правило, формулируется так: Даны три вершины треугольника. Требуется найти… много чего требуется найти…. Повезёт, если будет пункта 3-4, но чаще всего их 5-6 и даже больше.

Даны вершины треугольника kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image046. Требуется:

1) составить уравнения сторон kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image048и найти их угловые коэффициенты;
2) найти длину стороны kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image050;
3) найти kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image052;
4) составить уравнение прямой kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image054, проходящей через точку kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image056параллельно прямой kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image058;
5) составить уравнение высоты kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image060и найти её длину;
6) вычислить площадь треугольника kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image062;
7) составить уравнение медианы kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image064;
8) найти точку пересечения kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image066.

Знаете, прямо почувствовал себя палачом с большим топором. Чтобы не было так стыдно, скажу, что на практике в большинстве случаев пунктов бывает меньше. Просто я постарался собрать в одной задаче всё, что может встретиться. Для особо опасных энтузиастов заготовлена виселица ещё тройка пунктов, но это на закуску.

…бррр, что-то у меня сегодня траурная тема пошла, не иначе, от убыли светового дня. Поэтому скорее перехожу к решению.

Решение: С чего начать? Начать целесообразно с выполнения чертежа. По условию этого можно не делать, но для самоконтроля и самопроверки всегда строим чертёж на черновике.
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image068
Ещё раз напоминаю, что самый выгодный масштаб 1 единица = 1 см (2 тетрадные клетки).

Поехали щёлкать орехи:

1) Составим уравнения сторон kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image048 0000и найдём их угловые коэффициенты.

Поскольку известны вершины треугольника, то уравнения каждой стороны составим по двум точкам. Процесс подробно рассмотрен на уроке Уравнение прямой на плоскости.

Составим уравнение стороны kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image058 0000по точкам kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image072:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image074

Для проверки следует мысленно либо на черновике подставить координаты каждой точки в полученное уравнение. Теперь найдём угловой коэффициент. Для этого перепишем общее уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image076

Таким образом, угловой коэффициент: kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image078

Аналогично находим уравнения сторон kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image080. Не вижу особого смысла расписывать то же самое, поэтому сразу приведу готовый результат:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image082

2) Найдём длину стороны kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image050 0000. Это простейшая задача, рассмотренная на уроке Векторы для чайников. Для точек kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image084используем формулу:

kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image086

По этой же формуле легко найти и длины других сторон. Проверка очень быстро выполнятся обычной линейкой.

3) Найдём kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image052 0000. Это угол при вершине kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image088. Есть несколько способов решения, но самый универсальный способ – находить угол при вершине, как угол между векторами. Данная задача подробно рассмотрена на уроке Скалярное произведение векторов.

Используем формулу kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image090.

Найдём векторы:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image092

kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image094

Таким образом:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image096

Кстати, попутно мы нашли длины сторон kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image098.

В результате:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image100

Ну что же, похоже на правду, для убедительности к углу можно приложить транспортир.

Внимание! Не путайте угол треугольника с углом между прямыми. Угол треугольника может быть тупым, а угол между прямыми – нет (см. последний параграф статьи Простейшие задачи с прямой на плоскости). Однако для нахождения угла треугольника можно использовать и формулы вышеуказанного урока, но шероховатость состоит в том, что те формулы всегда дают острый угол. С их помощью я прорешал на черновике данную задачу и получил результат kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image102. А на чистовике пришлось бы записывать дополнительные оправдания, что kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image104.

4) Составить уравнение прямой kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image054 0000, проходящей через точку kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image056 0000параллельно прямой kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image058 0001.

Читайте также:  Как составить бизнес план социального проекта

Стандартная задача, подробно рассмотренная в примере № 2 урока Простейшие задачи с прямой на плоскости. Из общего уравнения прямой kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image106вытащим направляющий вектор kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image108. Составим уравнение прямой kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image054 0001по точке kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image110и направляющему вектору kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image108 0000:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image112
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image114

Как найти высоту треугольника?

5) Составим уравнение высоты kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image060 0000и найдём её длину.

От строгих определений никуда не деться, поэтому придётся приворовывать из школьного учебника:

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

То есть, необходимо составить уравнение перпендикуляра, проведённого из вершины kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image116к стороне kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image118. Данная задача рассмотрена в примерах № 6, 7 урока Простейшие задачи с прямой на плоскости. Из уравнения kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image120снимаем вектор нормали kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image122. Уравнение высоты kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image124составим по точке kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image126и направляющему вектору kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image122 0000:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image128
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image130

Обратите внимание, что координаты точки kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image132нам не известны.

Иногда уравнение высоты находят из соотношения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image134. В данном случае kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image136, тогда: kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image138. Уравнение высоты kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image124 0000составим по точке kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image126 0000и угловому коэффициенту kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image140(см. начало урока Уравнение прямой на плоскости):
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image142

Длину высоты можно найти двумя способами.

Существует окольный путь:

а) находим kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image144– точку пересечения высоты и стороны kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image118 0000;
б) находим длину отрезка kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image124 0001по двум известным точкам.

Но на уроке Простейшие задачи с прямой на плоскости рассматривалась удобная формула расстояния от точки до прямой. Точка известна: kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image126 0001, уравнение прямой тоже известно: kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image120 0000, Таким образом:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image146

6) Вычислим площадь треугольника. В пространстве площадь треугольника традиционно рассчитывается с помощью векторного произведения векторов, но здесь дан треугольник на плоскости. Используем школьную формулу:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image148– площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

В данном случае:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image150

Как найти медиану треугольника?

7) Составим уравнение медианы kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image064 0000.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

а) Найдём точку kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image038 0002– середину стороны kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image041 0000. Используем формулы координат середины отрезка. Известны координаты концов отрезка: kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image154, тогда координаты середины:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image156

Таким образом: kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image158
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image160
Уравнение медианы kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image064 0001составим по точкам kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image162:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image164

Чтобы проверить уравнение, в него нужно подставить координаты точек kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image166.

8) Найдём точку пересечения kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image066 0000высоты и медианы. Думаю, этот элемент фигурного катания все уже научились выполнять без падений:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image169

kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image171
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image173

Любители строгого оформления могут записать сакраментальное слово «Ответ» и скрупулезно перечислить в 8 пунктах полученные результаты.

А сейчас рассмотрим более редкие задания. Треугольник тот же.

9) найти уравнение биссектрисы kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image175;
10) найти центр тяжести kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image177треугольника;
11) составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник.

Как найти уравнение биссектрисы треугольника?

9) Биссектриса – это луч, который делит угол пополам. Рассмотрим два способа решения этого пункта.

Способ первый. Чтобы были более понятны последующие выкладки, я сразу приведу готовый чертёж с результатом:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image179
Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует соотношение длин следующих отрезков:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image181

Длины сторон уже найдены в предыдущих пунктах: kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image183.

Таким образом: kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image185. Координаты точки kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image187найдём по формулам деления отрезка в данном отношении. Да, параметр «лямбда» получился просто сказочным, а кому сейчас легко?

kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image072 0000

Понеслась нелёгкая:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image190

На последнем шаге я провёл умножение числителя и знаменателя на сопряжённое выражение kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image192– чтобы использовать формулу kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image194и избавиться от иррациональности в знаменателе.

Разбираемся со второй координатой:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image196

Таким образом: kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image198

Предчувствие вас не обмануло, уравнение биссектрисы kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image175 0000составим по точкам kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image200:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image202

Проверил, всё сходится. На практике, конечно, вычисления почти всегда будут проще. Никого не хотел запугать, так уж получилось =)

И, кроме того, один из читателей сайта предложил ещё один, более короткий путь!

Способ второй. Рассмотрим произвольную точку kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image002биссектрисы, отличную от вершины kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image004и найдём векторы:
kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image006
(именно такие! – не противоположные!), а также вектор kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image008.
kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image010
Запишем скалярное произведение:
kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image012, но с другой стороны, по определению скалярного произведения: kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image014
Таким образом, получаем уравнение kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image016

Запишем скалярное произведение kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image018. И с другой стороны: kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image020. Таким образом, получаем второе уравнение: kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image022.

В результате получается система двух уравнений:
kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image024
Произведения kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image026мы не знаем, но нам и не нужно его знать, из 1-го уравнения выражаем: kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image028– подставляем во 2-е уравнение:
kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image030
и доводим его до ума:
kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image032
kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image034– искомое уравнение биссектрисы. И пусть вас не смущает, что предыдущим способом мы получили уравнение kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image036, у этих двух уравнений соответствующие коэффициенты пропорциональны (проверьте на калькуляторе), поэтому они задают одну и ту же прямую.

Если нужно найти точку пересечения биссектрисы с противоположной стороной, то никаких проблем:
kak nauchitsya reshat zadachi po geometrii clip image038– решите систему самостоятельно, и с помощью калькулятора убедитесь, что получились те же самые координаты, что и в предыдущем способе решения.

Спасибо за ваши письма!

Как найти центр тяжести треугольника?

10) А что такое вообще центр тяжести плоской фигуры? Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то теоретически фигура не должна свалиться.

Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке. Из пункта № 7 нам уже известна одна из медиан: kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image204. Как решить задачу? Можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь короче! Нужно только знать полезное свойство:

Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image206, считая от вершины треугольника. Поэтому справедливо отношение kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image208
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image210

Нам известны точки kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image162 0000.
По формулам деления отрезка в данном отношении:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image212

Таким образом, центр тяжести треугольника: kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image214

Заключительный пункт урока:

11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.

Для понимания решения необходимо хорошо изучить статью Линейные неравенства. Системы линейных неравенств.

Для удобства перепишем найденные уравнения сторон:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image216

Рассмотрим прямую kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image218. Треугольник лежит в полуплоскости, где находится вершина kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image056 0001. Составим вспомогательный многочлен kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image221и вычислим его значение в точке kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image223: kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image225. Поскольку сторона kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image058 0002принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image228

Если не понятно, что к чему, пожалуйста, вернитесь к материалам про линейные неравенства.

Рассмотрим прямую kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image230. Треугольник расположен ниже данной прямой, поэтому очевидно неравенство kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image232.

И, наконец, для прямой kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image234составим многочлен kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image236, в который подставим координаты точки kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image126 0002: kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image238. Таким образом, получаем третье неравенство: kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image240.
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image242

Итак, треугольник kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image062 0000определяется следующей системой линейных неравенств:
kak nauchitsa reshat zadachi po geometrii clip image245

Как уже отмечалось, на практике рассмотренная задача с треугольником на плоскости очень популярна. Пунктов решения будет, конечно, не одиннадцать, а меньше, причём встретиться они могут в самых различных комбинациях. В этой связи вам придётся самостоятельно протягивать логическую цепочку решения. А вообще, всё довольно однообразно.

Может ещё задачку? Да ладно, не надо стесняться, я же по глазам вижу, что хотите =) Ненасытные читатели могут ознакомиться с решениями других задач по аналитической геометрии. Подходящий архив можно закачать на странице Готовые задачи по высшей математике.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

mark «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Поделиться с друзьями
admin
Транспорт и перевозки
Adblock
detector